Қайталау сабақтары. Геометрияға бастама

Нүкте – фигуралардың негізгі құраушы бөлігі

• Нүкте геометрияның негізгі ұғымдарының бірі. Нүкте – кеңістікте орналасқан белгілі бір көлемі, ауданы, ұзындығы және басқа да өлшем бірлігі жоқ объект.
• Кез келген басқа геометриялық фигуралар нүктелердің жиынтығынан құралады.

Түзу

1. Түзу геометрияның негізгі ұғымдарының бірі. Түзу деп нүктелердің бір қисық емес сызық бойындағы жиынын айтамыз.
2. Нүктелерді біріктіріп түзу кесіндісін салу үшін біз сызғышты қолданамыз.

Сәуле

Түзудегі қандай да О нүктесімен бірге оның бір жағында орналасқан нүктелер жиыны сәуле деп аталады.

Кесінді

Түзудің берілген екі нүктесі мен олардың арасында жатқан барлық нүктелерінен тұратын бөлігін кесінді деп атайды.

Жазықтық

Жазықтық — геометрияның негізгі ұғымдарының бірі. Геометрияның жүйелі курсын тұжырымдағанда жазықтық ұғымы бастапқы ұғым ретінде алынады. Ол екі өлшемді бейнелейді.

Фигуралардың теңдігі

Өлшемі және пішіні тең екі фигура тең фигуралар деп аталады

Мысалы:

Екі кесінді тең, егер олардың ұзындықтары тең болса.

Геометрия аксиомалары

Ақиқаттығы дәлелдеусіз қабылданатын сөйлем аксиома деп аталады. n Мысалы:

1. Қандай түзуді алсақ та, ол түзуге тиісті нүктелер де, оған тиісті емес нүктелер де бар болады.
2. Kез келген екі нүкте арқылы бір ғана түзу жүргізуге болады.

Теорема

• Теорема – дәлелдеуді қажет ететін тұжырымдама
• Теоремалардың кері теоремасы болады. Бірақ, барлық теореманың кері теоремасы жоқ.

Мысалы:

1) Егер үшбұрыштың бір төбесінен түсірілген биссектрисасы, медианасы және биіктігі, барлығы, беттессе, онда бұл үшбұрыш – теңбүйірлі үшбұрыш.

Осы теоремаға кері теорема:

2) Егер үшбұрыш теңбүйірлі болса, онда оның екі тең бүйірі қиылысқан төбесінен түсірілген биссектрисасы, медианасы және биіктігі, барлығы, беттеседі.

Сыбайлас бұрыштар

• Сыбайлас бұрыштар деп бір қабырғасы ортақ болған, жазық бұрыштың екі бөлігін айтамыз.
• Сыбайлас бұрыштардың қосындысы 180º - қа тең. Өйткені олар жазық бұрыштың екі бөлігі.

Вертикаль бұрыштар

Екі қабырға қиылысып, пайда болған төрт бұрыштың тең бұрыштарын – вертикаль бұрыштар дейміз.

∠AOC мен ∠DOB вертикаль бұрыштар

∠COB мен ∠AOD вертикаль бұрыштар

Олар өзара тең!

Үшбұрыштар теңдігінің бегілері

• Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкес екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.

• Егер бір үшбұрыштың бір қабырғасы мен оған іргелес жатқан екі бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкес қабырғалары мен оған іргелес жатқан екі бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.

• Екі үшбұрыштың сәйкес үш қабырғасы да тең болса, онда ол екі үшбұрыш тең.

Теңбүйірлі үшбұрыштың анықтамасы

Теңбүйірлі үшбұрыш деп кез-келген екі қабырғасы тең үшбұрышты айтамыз.

Тікбұрышты үшбұрыштар теңдігінің белгілері

• Екі тікбұрышты үшбұрыш тең егер олардың гипотенузасы және бір сүйір бұрышы тең болса.

• Екі тікбұрышты үшбұрыштың бір-бір катеттері мен оларға қарсы жатқан сүйір бұрыштары тең болса, олар тең үшбұрыштар болады.

• Екі тікбұрышты үшбұрыш тең егер олардың сәйкес екі катеттері тең болса.

• Екі тікбұрышты үшбұрыш тең егер олардың бір катеті және гипотенузасы тең болса.

Үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарының арасындағы қатынастар

Үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштары бір-біріне тәуелді. Мысалы: екі бұрышы тең болса, онда екі қабырғасы тең болады. Үш қабырғасы тең болса, онда үш бұрышы тең болады. Егер, бір бұрышы үлкен болса, онда оған қарама-қарсы жатқан қабырғасы да үлкен болады.

Параллель түзулердің белгілері мен қасиеттері

Параллель түзулер деп ешқашан қиылыспайтын түзулерді айтамыз.

Екі параллель түзу басқа бір түзумен қиылысса, екеуі де бірдей бұрыш жасап қиылысады.

Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы

Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180º - қа тең.

Шеңбердің анықтамасы

Шеңбер – барлық нүктесі бір нүктеден бірдей қашықтықта жататын тұйық қисық сызық

1. О – центр
2. R – радиус
3. 2R – диаметр

Шеңбердің центрі және диаметрі

• Шеңбердің барлық нүктесі центрінен бірдей арақашықтықта орналасқан
• Шеңбердің кез-келген екі нүктесін центр арқылы қосатын кесіндіні шеңбердің диаметрі деп аталады.

Түзу мен шеңбердің өзара орналасуы

Түзу – шеңберді бір немесе екі нүктеде қия алады. Бір нүктеде қиса онда ол кесінді (түзу) жанама деп аталады. Екі нүктеде қиса, онда шеңбердің ішінде қалған кесінді хорда деп аталады

Екі шеңбердің өзара орналасуы

Екі шеңбер бір-бірімен бір немесе екі нүктеде қиылыса алады.

Центрлік бұрыш

Егер бұрыштың төбесі шеңбердің центрі болса, онда ол бұрыш центрлік бұрыш деп аталады.

Доғаның градустық өлшемі

Шеңбердің доға деп нүктелері шеңберді екі бөлікке бөледі. Шеңберді құрайтын доғалардың қосындысы 360^o-қа тең, өйткені шеңбер өзі 360^o-ты құрайды.

Центрлік бұрыш пен доғаның арақатынасы

Центрлік бұрыш пен сол бұрышқа сәйкес келетін доғаның градустық шамалары тең.

Анықтама

Әрбір үшеуі бір түзуде жатпайтын жазықтықтағы төрт нүктені тізбектей қосатын төрт кесіндіден және сол кесінділермен шектелген жазықтықтың бөлігінен тұратын фигура төртбұрыш деп аталады.

Анықтама түсініксіз бе? Онда оны талдайық!

Анықтаманы талдайық

Әрбір үшеуі бір түзуде жатпайтын төрт нүкте таңдау:

а) ә)

а) Бұл мысалда төрт нүктені қалай таңдамау керек екендігі көрсетілген.

Қатесі: А,В,С нүктелері бір түзудің бойында жатыр.

б) Бұл мысалда төрт нүктені қалай дұрыс таңдау керек екендігі көрсетілген.

Кез-келген үш нүктені алсақ олар бір түзудің бойында жатқан жоқ.

Анықтаманы талдайықn 1. Нүктелерді төрт кесіндімен қосу: n 2. Кесінділермен шектелген жазықтық:n Қоңыр түсті болып; АВ, ВС, СD, DА кесінділерімен шектелген фигура.

Төртбұрыштарды дұрыс ата

Төртбұрышты атағанда солда көрсетілгендей шеңбердің бойымен төбелерін жазып шығу керек, жолда ешқандай төбені тастап кетуге болмайды.

Мысалы: АBCD, CDAB, DCBA, CBAD

БІРАҚ, мына мысалдар қате: ACBD, ADBC

Төбелері мен қабырғалары

1. Төртбұрыштың төбелері деп A, B, C, D нүктелерін атаймыз

2. Төртбұрыштың қабырғалары деп

АВ, ВС, СD, DA кесінділерін айтамыз.

Бұрыштары мен диагоналдары

1. Төртбұрыштың бұрыштары ∠ABC, ∠ADC, ∠DCB, ∠BAD деп атаймыз

2. Төртбұрыштың диагональдары АС және BD кесінділерін. А мен С, В мен D – төртбұрыштың қарама-қарсы төбелері.

Қарама-қарсы жатқан бұрыштары мен қабырғалары

1. Ортақ қабырғалары жоқ бұрыштар төртбұрыштың қарама-қарсы бұрыштары

2. Ортақ ұштары жоқ қабырғалары төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары болып табылады

Дөңес төртбұрыштар

Егер төртбұрыштың барлық бұрыштары 180^о - тан кем болса онда ол дөңес деп аталады.

Мысалы:

Дөңес емес төртбұрыштар

Егер төртбұрыштың бір бұрышы 180^о - тан көп болса онда ол дөңес емес деп аталады.

Мысалы:

Төртбұрыштың периметрі

Төртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарының қосындысын оның периметрі дейміз.

Мысалы:

ABCD төртбұрышының периметрі:

Р= 4 + 5 + 6 + 7 = 22 см

Периметрді Р әрпімен белгілейміз

Ішкі бұрыштары жайлы теорема

1- теорема. Төртбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 360^о - қа тең.

Дәлелі: Төртбұрышты кез-келген диагоналы арқылы екі үшбұрышқа бөліп аламыз. Үшбұрыштың ішкі бұрыштары 180^о - қа тең болғандықтан, төртбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 360^о - қа тең.

Ішкі бұрыштары жайлы теорема

Мысал: α + β = ?

Теорема бойынша: 100 + 60 + 50 + 65 + a + b = 360

α + β = 85^о